שיעור 85: מציאת נקודות קיצון עם פרמטר וסעיף חשיבה

תרגול עם סעיפי חשיבה 5 יחידות-שאלות קצרות

1🔵 סעיף א: שיעור ה-x של נקודת הקיצון של f(x) וסוגה – נגזרת מנה עם פרמטר

2🟣 סעיף ב: סעיף חשיבה – הוכחה שגרף g(x) כולו מעל גרף f(x)

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² − a²(x − 3)² , 0 < a < 3 הוא פרמטר.

א. מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ב. נתונה הפונקציה g(x) = x²(x − 3)² , המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקציה f(x). הוכיחו כי גרף הפונקציה g(x) נמצא כולו מעל גרף הפונקציה f(x).

🔵 סעיף א: שיעור ה-x של נקודת הקיצון של f(x) וסוגה – נגזרת מנה עם פרמטר

מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

תחום: x ≠ 3

נגזרת מנה: [f(x)g(x)]′ = f′(x)g(x) − f(x)g′(x)[g(x)]²

f′(x) =

2x(x−3)² − 2(x−3)(x²−a²)(x−3)⁴

f′(x) = 0 ← רק המונה, ומצמצמים ב-2:

x(x−3)² − (x−3)(x²−a²) = 0

גורם משותף (x − 3):

(x−3)[x(x−3) − (x²−a²)] = 0

(x−3)[x² − 3x − x² + a²] = 0

(x − 3)(−3x + a²) = 0

x = 3 ← לא בתחום

🔵 סעיף א: שיעור ה-x של נקודת הקיצון של f(x) וסוגה – נגזרת מנה עם פרמטר · המשך

x = 3 ← לא בתחום

−3x + a² = 0 ← 3x = a² ← x = a²3

איפה a²3?

0 < a < 3 ← 0 < a² < 9 ← 0 < a²3 < 3

הסימן של y′ בלי הצבה: המכנה (x − 3)⁴ תמיד חיובי, לכן הסימן הוא של y′ = (x − 3)(−3x + a²): פרבולה בוכה (−3x²…) עם שורשים a²3 ו-3 – חיובית ביניהם, שלילית מחוץ להם.

x		a²/3		3
f′(x)	−	0	+		−
f(x)	↘	min	↗	אס׳	↘

🔵 סעיף א: שיעור ה-x של נקודת הקיצון של f(x) וסוגה – נגזרת מנה עם פרמטר · המשך

x		a²/3		3
f′(x)	−	0	+		−
f(x)	↘	min	↗	אס׳	↘

ירידה ואחריה עלייה ← מינימום.

✅ x = a²3 , נקודת מינימום

🟣 סעיף ב: סעיף חשיבה – הוכחה שגרף g(x) כולו מעל גרף f(x)

נתונה הפונקציה g(x) = x²(x − 3)² , המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקציה f(x). הוכיחו כי גרף הפונקציה g(x) נמצא כולו מעל גרף הפונקציה f(x).

צריך להראות: g(x) > f(x)

x²(x − 3)² > x² − a²(x − 3)²

המכנים שווים וחיוביים ← משווים רק את המונים:

x² > x² − a²

0 > −a²

a² חיובי ← −a² שלילי ← 0 גדול ממספר שלילי: פסוק אמת.

ה-x התבטל ← נכון לכל x בתחום.

✅ 0 > −a² פסוק אמת לכל x ← g(x) מעל f(x)

📌 לזכור

💡

כשהמכנה של הנגזרת תמיד חיובי, מספיק לשרטט את המונה (כאן פרבולה בוכה) כדי לדעת איפה הפונקציה עולה ויורדת – בלי להציב מספרים.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא